INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Con el método de los elementos finitos se ha conseguido un avance en la solución de problemas que, hasta entonces, eran imposibles de resolver por medios matemáticos convencionales.

Este método tiene sus antecedentes en el tipo de cálculos que se cree que empleaban los egipcios para establecer el volumen de las pirámides. Hay relaciones más o menos claras con algunos de los cálculos realizados por Arquímedes o hasta en China hace 2000 años. El desarrollo de este modelo de cálculo ha estado ligado al campo aeroespacial, principalmente desde la década de los 40 del siglo XX. Una evolución que empezó con la aplicación de elementos finitos simples al análisis de estructuras aeronáuticas y que llegó a su punto álgido con los estudios de Przemieniecki y de Zienkiewicz, plasmados en varios libros.

Antes se estaba obligado a emplear el método prueba – error para conseguir avanzar, creando prototipos sobre los que se ensayaba para ir introduciendo mejoras poco a poco. Esto suponía una gran inversión de tiempo y dinero para conseguir resultados muy lentamente. Con este método se consigue ganar mucho tiempo simulando, mediante un modelo matemático, el comportamiento de aquel elemento sobre el que se está trabajando de una manera muy aproximada a la realidad. Aun así, como nos pasará durante el curso, siguen siendo necesarios los prototipos y los modelos tangibles para, uniendo ambos procesos, conseguir el diseño más óptimo posible, ya que mediante la simulación solo se conseguirán aproximaciones a la realidad, mas o menos cercanas en función de nuestra capacidad.

Los programas informáticos han supuesto un avance exponencial en los resultados obtenidos mediante la aplicación del MEF. Son, no obstante, programas complejos de manejar, que exigen un gran conocimiento para poder sacarles partido y conseguir resultados que se ajusten a la realidad.

CONCEPTOS BÁSICOS

Este método se basa en una premisa fundamental, que es la de que cualquier elemento continuo puede considerarse como un conjunto de elementos interconectados entre sí, cuyos puntos de unión se denominan nodos.

Aceptando este punto de partida, se consigue pasar de un sistema continuo prácticamente inabarcable debido a las múltiples combinaciones que pueden darse en él, y que está gobernado por sistemas de ecuaciones diferenciales casi infinitas, a un modelo simulado en el que el grado de libertad está limitado y cuyo comportamiento puede representarse un sistema definido de ecuaciones.

En cualquier sistema que queramos analizar nos encontraremos con:

1. Un dominio, que es el espacio geométrico acotado donde se analiza el sistema.
2. Un contorno, que comprende una serie de variables conocidas de antemano (cargas, desplazamientos, fuerzas, temperatura, etc).
3. Unas incógnitas (tensiones, desplazamientos, deformaciones, etc) que solo se conocerán cuando se analicen como han afectado al sistema las condiciones del entorno conocidas y catalogadas con anterioridad.

El MEF plantea el supuesto de convertir un continuo en un sistema de elementos individuales definidos (que pueden ser líneas, puntos o superficies), de tal forma que, estudiando ese conjunto de elementos nos aproximaremos lo máximo posible al comportamiento de la totalidad continua que conforman en la realidad.

Los elementos, finitos, se interconectan mediante puntos que se denominan nodos, que son los verdaderos hilos conductores de este método, ya que es sobre ellos sobre los que se aplican los supuestos y, por tanto, sobre los que se plantean y se resuelven las incógnitas del problema planteado.

En el caso de elementos estructurales, las incógnitas son los desplazamientos nodales que se producen para, a partir de estos, solucionar el resto de incógnitas que nos pueden interesar, como tensiones, deformaciones… Esas incógnitas son los llamados grados de libertad de cada nodo del modelo simulado, que nos llevan a saber el estado y posición del mismo.

Las funciones de desplazamiento marcarán de manera única al ámbito de desplazamiento dentro de cada elemento finito, en función del desplazamiento nodal de dicho elemento.

Así, estas deformaciones, junto con las propiedades intrínsecas del material, definirán el estado de las tensiones en la totalidad del elemento y, por tanto, en sus contornos.

Un ejemplo básico sería el de una viga continua en voladizo con una carga puntual y una temperatura conocidas. Las incógnitas a resolver serían:

1. Desplazamiento en dirección X
2. Desplazamiento en dirección Y
3. Giro según Z.
4. Variación de temperatura.

Lo que se plantea es un sistema de fuerzas aplicadas exclusivamente en los nodos, que equilibran las tensiones del contorno y las cargas repartidas.

Lo primero, por tanto, es entender que el sistema se ve afectado por las condiciones de su contorno (empotramiento, carga puntual y temperatura en este caso), que le llevarán a evolucionar hacia un estado final en el que, conocidos los valores de los grados de libertad de los nodos que hemos establecido, podremos definir cualquier otra incógnita, como tensiones, deformaciones, etc, así como obtener la evolución en el tiempo de cualquiera de esos grados de libertad.

Se plantearía una ecuación diferencial que será la que rija el comportamiento del continuo para el elemento, para llegar a fórmulas que relacionan el comportamiento del interior del mismo con el valor que tomen los grados de libertad nodales. Para conseguir este paso se desarrollan funciones llamadas de interpolación (ya que estas introducen el valor de la variable nodal dentro del elemento).

El problema se formula de manera matricial, que es lo que lo hacía prácticamente irresoluble antes de que entraran en funcionamiento los programas de ordenador aplicados a este método.

Conocidas esas matrices, que son las que definirán el comportamiento del elemento, se ensamblan para formar ecuaciones algebraicas también conocidas, que pueden o no ser lineales, que al resolverlas nos darán los valores de los grados de libertad de los nodos en el sistema.

Los resultados numéricos conseguidos deben analizarse y presentarse mediante gráficos, para poder así, posteriormente, realizar las modificaciones que sean oportunas dentro del proceso, y obtener así resultados diferentes dentro de la simulación que ayuden a resolver los posibles errores que puedan producirse.

Puntos fundamentales al plantearse resolver un problema por medio del MEF:

1. Conocer exactamente que queremos determinar, para saber el análisis que se ha de hacer.
2. Conocer tan bien la geometría del elemento a analizar que podamos simplificarla al máximo, buscando simetrías, antisimetrías, etc, eliminando todos los detalles prescindibles. Con esto podremos decidir el tipo de elementos a emplear, sus características y las propiedades de los mismos (módulo de elasticidad, conductividad…). Es decir, a partir de la realidad física del sistema, se selecciona el modelo matemático apropiado para describir su comportamiento.
3. Establecer las condiciones a las que se ve afectado el sistema. No solo conocerlas, sino también determinar cuales son verdaderamente determinantes y como se pueden aplicar, como conseguir que representen las condiciones reales del problema… Este es el punto fundamental, ya que de cómo representemos la realidad dentro del estudio dependerá que los resultados se aproximen mas o menos a los que obtendremos sobre el prototipo que probemos.
4. Tener de antemano una idea lo mas realista posible de los resultados que vamos a obtener, para poder interpretar los datos obtenidos del cálculo teórico. Si no hemos realizado un estudio previo de lo que estamos analizando y de las conclusiones que sería lógico obtener, podríamos seguir un camino equivocado desde el primer momento del análisis, lo que haría inútil el mismo.